特曼de学习笔记 -博客 | 技术分享 - 4个一组画包围圈
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items: 卡诺图法 / 2、4、8个一组画包围圈 / 完整简化过程 / 由输出表达式填写卡诺图 / 无关项

卡诺图法 / 2、4、8个一组画包围圈 / 完整简化过程 / 由输出表达式填写卡诺图 / 无关项
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date: 2020-10-07T13:06:30+08:00
description: 卡诺图是一种图解工具，用来化简逻辑方程式或者把一个真值表以简单而有规律的方法转换为相应的逻辑电路。卡诺图也称K图(K map) 尽管卡诺图可用来解决涉及到任意输入变量的问题，但实际上限制5个或6个输入变量以内 将真值表值放在K图中 这里显示的是一个双输入变量的图卡诺图的格式下面分别给出2输入、3输入、4输入变量卡诺图的三个例子和相应的真值表真值表中的每一种输入组合与卡诺图中的一个小方格相对应 例如在(a)中，真值表A=0,B=0的情况对应于卡诺图中小方格。由于真值表对于这种情况输出x=1，所以在卡诺图内也放置1标记卡诺图使水平相邻的小方格仅有一个变量不同。例如，在4变量卡诺图中，左上角的小方格是，其右边相邻的小方格是（仅变量D不同），类似的垂直相邻的小方格也仅有一个变量不同 为了使水平和垂直相邻的小方格仅有一个变量不同，从上到下标记的顺序必须是：，同样从左到右的顺序必须是：一旦卡诺图填写了0和1，就可以把这些含1的小方格或在一起从而得到输出x的与或表达式，在如图(b)所示3变量卡诺图中，小方格中有4个含1，因此就可以得出输出x的与或表达式注意：变量必须按照以下的顺序进行书写 画包卡诺图在卡诺图中将含1的小方格适当组合可简化输出x的表达式，组合这些1的过程叫做画包卡诺图2个一组画包围圈如图所示是一个特定的3变量真值表的卡诺图，这个卡诺图包含两个1，且它们垂直相邻 第一个表示： 第二个表示： 观察这两项，发现只有A以原变量和反变量的形式出现，而B和C保持不变。这两项圈起来的组合可以消去变量A，因为变量A以原变量和反变量的形式出现两次，证明如下： 同样的原理也可以适用于任何一对垂直或水平相邻的1，图（b）所示是两个1水平相邻的例子 对着两项可包围消去变量C，因为C以原变量和反变量的形式出现两次，得到的结果为另外一个例子如下图所示，在卡诺图中，最上面的一行和最下面的一行中的小方格是相邻的 因此此卡诺图中两个1可圈起来形成 的结果下图所示的卡诺图中有两个1可圈起来。 顶行的两个1水平相邻，底行的两个1也相邻，因为卡诺图中最左边一列和最右边一列的小方格是相邻的。 当顶行的两个1圈起来时，变量D被消除。 对底行的一对1花圈，消去变量C。这两项相或给出x的最后结果为：4个一组画包围圈卡诺图可能包含一组4个彼此相邻的1。4个彼此相邻的1叫做四重组。如图所示 （a）中4个1垂直相邻 （b）中4个1水平相邻 （c）中卡诺图所包含的4个1彼此相邻，形成正方形 （d）和（e）中，4个1也是分别相邻的，因为前面也说过，卡诺图中顶行和底行看做是彼此相邻的，同样，最左边一列和最右边一列看做的相邻的当对一个司重组画包围圈后，所合成的项仅当包含四重组中在所有小方格不改变形式的变量。例如在（a）中，包含1的四个小方格，发现其中只有C保持不变（a和b均以原变量和反变量的形式出现）。因此化简后x的表达式为x=C。证明如下： 另外一个例子，（d）中，包含1的4个小方格是，观察这些项发现只有A和D'保持不变。因此化简后x的表达式是：8个一组画包围圈一组里面有8个1彼此相邻叫做八重组；在4变量卡诺图中，当对八重组画包围圈时，将消去3个变量，因为仅有一个变量保持不变如图所示（a）中被圈起来的8个小方格，可见仅变量B在8个小方格中保持同一形式；其他变量以原变量和反变量的形式出现 对于这个卡诺图，x=B完整的简化过程对于任意大小的包围圈，可归纳其规律如下： 当变量以原变量和反变量的形式出现在一个包围圈内时，这个变量可从表达式中消去。对于包围圈内所有小方格保持不变的那些变量，必然出现在最后的表达式中包含1的包围圈越大，消去的变量越多。确切地说， 两个小方格形成的包围圈消去一个变量 四个小方格形成的包围圈消去两个变量 八个小方格形成的包围圈消去三个变量应用卡诺图法化简布尔表达式时，可按下述步骤进行： 第1步：画卡诺图并求所给逻辑函数的卡诺图表示，即在和真值表中1相应的小方格中置1，其它小方格置0 第2步：观察卡诺图中1的相邻情况，圈出那些与其它任何1不相邻的含1的小方格 第3步：寻找仅有两个1相邻的情况，圈出每一对仅有两个1相邻的小方格 第4步：圈出任一八重组，即使它包含的某些1已被别的圈包围 第5步：圈出任一四重组，它可以包含一个或多个已经被别的圈包围的1，确保所用的圈的个数最少 第6步：圈出任何一对需要包含但没有被别的圈包含的1，确保所用圈的个数最少 第7步：把每个圈所形成的的与项相或例题1 假设第一步已经由此问题的真值表得到 第2步：小方格4（小方格右下角的数字编号）含1但与其它任一个互不相邻，把它单独圈出并记为loop4 第3步：小方格11仅与小方格15相邻，圈出这一对并记为loop11，loop15 第4步：此图中没有8个含1小方格相邻 第5步：小方格6、7、10和11形成…